Resumen:
Esta tesis es el resultado de un trabajo de exploración acerca de la viabilidad de un espacio didáctico en el campo de la aritmética escolar, que pueda concebirse como una articulación entre prácticas aritméticas y prácticas algebraicas. Tal exploración tiene como referencia teórica principal la Teoría de Situaciones de Guy Brousseau y la interpretación que se hace de la misma, es parte de este estudio. Pensar la articulación aritmética-álgebra obliga a analizar la complejidad del álgebra escolar. Para ello, este trabajo se apoya en - y discute con- la producción actual de la investigación en este área. Las consideraciones acerca de la Teoría de Situaciones y de la Didáctica del Álgebra constituyen el marco a partir del cual se diseñan e implementan dos secuencias didácticas con el objetivo de enfrentar a los alumnos con rupturas esenciales, de cara a las prácticas algebraicas. El estudio del proceso de producción desencadenado a partir de estas secuencias, que permite identificar conocimientos pertenecientes al espacio posible que se explora, es un aspecto central de esta investigación. La pregunta por la producción de conocimientos por parte de los alumnos supone "mirar" la nuevas relaciones que ellos elaboran, las que resignifican o revisan, las transformaciones en su modo de abordar problemas, las _consideraciones que hacen para dar por válido un procedimiento o una propiedad, las herramientas semióticas que producen para representar procesos y soluciones, las nuevas preguntas - que no eran antes siquiera concebibles- que se formulan. Las dos secuencias desarrolladas fueron pensadas desde una idea básica: proponer problemas que exigieran a los alumnos tomar una posición reflexiva - necesariamente más general- respecto de algunos de los viejos objetos de la aritmética escolar. La primera de las secuencias apuntó a que los alumnos comenzaran a conceptualizar la división entera como un "objeto" que relaciona números a través de condiciones, objeto que puede pensarse de manera independiente de su funcionamiento en la resolución de los conocidos problemas de reparto. El análisis de la producción en las clases se centra en las transformaciones en las conceptualizaciones de los alumnos relativas a la división entera, en la racionalidad matemática puesta en juego, y en las relaciones entre ambas. La segunda secuencia está estructurada alrededor de problemas de enunciado que vinculan dos variables con un grado de libertad entre ellas. Los problemas plantean rupturas a nivel de las prácticas de los alumnos, al enfrentarlos con la necesidad de seleccionar variables, definir su dominio, decidir sobre la cantidad de soluciones y encontrar maneras de expresarlas. Algunas de estas rupturas llevan a revisar las normas que usan los estudiantes para abordar el trabajo matemático. El análisis realizado pone en evidencia la necesidad ineludible de las interacciones sociales para la emergencia de muchas de las cuestiones en juego en esta secuencia. El estudio da cuenta de una trama compleja de producción de conocimientos en la que intervienen de manera inextricable las relaciones que los alumnos producen en su interacción personal con los problemas, las elaboraciones que hacen en conjunto grupos de alumnos, las intenciones didácticas del docente que se juegan implícitamente en sus intervenciones y la confrontación entre las producciones de los pares que "aloja" la posibilidad de plantear nuevos problemas que difícilmente surgirían sin dicha confrontación.